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行列の積と転置

命題

行列の積と転置をとる操作の間には

{\displaystyle {}^t\!(AB) = {{}^t\!B}{{}^t\!A}}

の関係があることを示せ.

 

証明

{A = \begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}}m \times n行列,{B = \begin{pmatrix} b_{ij} \end{pmatrix}}n \times p行列とする.C={}^t\!(AB)D= {{}^t\!B}{{}^t\!A}とすれば{C = \begin{pmatrix} c_{ij} \end{pmatrix}}{D = \begin{pmatrix} d_{ij} \end{pmatrix}}m \times p行列.

{{}^t\!A=\begin{pmatrix}a'_{ij}\end{pmatrix}}{{}^t\!B=\begin{pmatrix}b'_{ij}\end{pmatrix}}とする.

{\displaystyle c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}}

{\displaystyle d_{ij} = \sum_{k=1}^n b'_{ik}a'_{kj}}

{\displaystyle = \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}}

{\displaystyle = c_{ij}}

が成り立つ. よって,

{\displaystyle {}^t\!(AB) = {{}^t\!B}{{}^t\!A}}

である.

おまけ

ネタが尽きたので教科書の問題を解いた.正確にはネタはあるが書いていると日付をまたぐのが確実なのでやめた.

はてなブログで数式書くの辛い.コピペした数式はうまく表示されるのに手で書くとなぜか変換されない.