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ばね振子:エネルギーを考える

やりたいこと

 

pandaman64.hatenablog.jp

 のエネルギーについての式を立てたい.

 

やったこと

運動方程式を書く.力は極座標系で表す.

{\displaystyle m\boldsymbol{r} = (mg\cos \theta-k(r-l))\boldsymbol{e_r} -mg\sin \theta \boldsymbol{e_\theta}}

両辺{\dot{\boldsymbol{r}}}=\dot{r}\boldsymbol{e_r}+r\dot{\theta}\boldsymbol{e_\theta}内積をとる.{\boldsymbol{e_r}\cdot\boldsymbol{e_\theta}=0}に注意して,

{\displaystyle m\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} = -k(r-l)\dot{r} + mg\dot{r}\cos \theta - mgr\dot{\theta}\sin \theta}

 となる.実はこれは

{\displaystyle \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \right) = -\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}k(r-l)^2 \right) + \frac{d}{dt}\left( mgr\cos \theta\right)}

である.ぜひ計算してみてほしい.私はWolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine積分してもらった.

したがって,

\begin{align} E &=\frac{1}{2}m\dot{r} + \frac{1}{2}k(r-l)^2 - mgr\cos{\theta} \\ &=\text{一定} \end{align}

 であり,このEが質点のエネルギーを表す.上式を見ると,Eは運動エネルギー,ばねと重力のポテンシャルエネルギーの和になっている.あらかじめこの関係を予想して変形することも可能だったかもしれない.

 

これからやりたいこと

  • エネルギーについての式を解く.
  • 等エネルギー面を描く
  • シミュレーションを作る
  • 本当は「=一定」の所を「=Const」って書きたかった.なんで書けないの.