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ばね振子:等ポテンシャル線を描く準備

やりたいこと

pandaman64.hatenablog.jp

の続き.

質点のポテンシャルは

\begin{align} U=\frac{1}{2}k(r-l)^2-mgr\cos \theta \end{align}

で与えられる.Uを定数としてみたとき,r\thetaの関数で表したい.

やったこと

rについて式を整理する. rについての二次方程式 \begin{align} r^2 - 2\left({l+\frac{mg\sin\theta}{k}}\right)r+l^2-\frac{U}{k}=0 \end{align}を得る.

これを解くと, \begin{align} r &= l + \frac{mg\sin\theta}{k} \pm \sqrt{\left({l+\frac{mg\sin\theta}{k}}\right)^2 - \left({l^2-\frac{U}{k}}\right)} \\ &= l + \frac{mg\sin\theta}{k} \pm \frac{1}{k}\sqrt{m^2g^2\sin^2\theta + 2mglk\sin\theta + UK} \end{align}

を得る.同じポテンシャルをとるrが2つ存在することが分かる. 図を描くために,定数を削減したい.今回はmg=klとみなす. すると, \begin{align} r&=l(1+\sin\theta) \pm \frac{1}{k}\sqrt{k^2l^2\sin^2\theta + 2k^2l^2\sin\theta + UK} &= l(1+\sin\theta) \pm l\sqrt{\sin^2\theta + 2\sin\theta + \frac{U}{kl^2}} \end{align}

である.U=nkl^2 (n\in \mathbb{Z})と変化させてやれば

\begin{align} r = l\left((1+t) \pm \sqrt{t^2+2t+n}\right) \end{align} と表せる.但し,t=\sin\thetaとした.

あとは \begin{cases} x = r\sin\theta \\ y = r\cos\theta \end{cases} としてやれば等ポテンシャル線が描ける.後で描く.