ばね振子：等ポテンシャル線を描く準備
やりたいこと
の続き．
質点のポテンシャルは
\begin{align} U=\frac{1}{2}k(r-l)^2-mgr\cos \theta \end{align}
で与えられる．を定数としてみたとき，
を
の関数で表したい．
やったこと
について式を整理する．
についての二次方程式 \begin{align} r^2 - 2\left({l+\frac{mg\sin\theta}{k}}\right)r+l^2-\frac{U}{k}=0 \end{align}を得る．
これを解くと， \begin{align} r &= l + \frac{mg\sin\theta}{k} \pm \sqrt{\left({l+\frac{mg\sin\theta}{k}}\right)^2 - \left({l^2-\frac{U}{k}}\right)} \\ &= l + \frac{mg\sin\theta}{k} \pm \frac{1}{k}\sqrt{m^2g^2\sin^2\theta + 2mglk\sin\theta + UK} \end{align}
を得る．同じポテンシャルをとるが２つ存在することが分かる． 図を描くために，定数を削減したい．今回は
とみなす． すると， \begin{align} r&=l(1+\sin\theta) \pm \frac{1}{k}\sqrt{k^2l^2\sin^2\theta + 2k^2l^2\sin\theta + UK} &= l(1+\sin\theta) \pm l\sqrt{\sin^2\theta + 2\sin\theta + \frac{U}{kl^2}} \end{align}
である．と変化させてやれば
\begin{align} r = l\left((1+t) \pm \sqrt{t^2+2t+n}\right) \end{align} と表せる．但し，とした．
あとは \begin{cases} x = r\sin\theta \\ y = r\cos\theta \end{cases} としてやれば等ポテンシャル線が描ける．後で描く．
