波動方程式の一般解 - 井山梃子歴史館

世間に出回っている波動方程式の解法は関数形を天下りに導入してなぜそれが一般解なのかを言わないものばかりだったので書いた．はてなブログは式番号が付いてないとレイアウトがおかしくなるので式に絵文字がついてますが無視してください．

波動方程式を解く

簡単のため，一次元波動方程式の一般解を求める．すなわち， $C^2$ 級関数 $\psi(x,t)$ について，偏微分方程式
$\dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{{\partial t}^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{{\partial x}^2}\tag{cは定数}$
の一般解を求めたい．

まずは，次の変数変換を考える．
$\begin{align} X = x + ct,&Y = x - ct \tag{☺} \end{align}$
と置けば，
$\begin{cases} \dfrac{\partial X}{\partial x} = 1 & \dfrac{\partial X}{\partial t} = c \\ \dfrac{\partial Y}{\partial x} = 1 & \dfrac{\partial Y}{\partial t} = -c \end{cases} \tag{☺}$
を得る． $(x,t)$ と $(X,Y)$ は一対一対応するので，関数 $\psi(x,t)$ は $X,Y$ を用いて $\psi(X,Y)$ と表せる．

このとき，波動方程式の左辺は
$\begin{align} \begin{aligned} \frac{\partial^2 \psi(X,Y)}{{\partial t}^2} &= \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial X}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial X}+\frac{\partial Y}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial Y}\right) \\ &= c\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \psi}{\partial X}(X,Y)-\frac{\partial \psi}{\partial Y}(X,Y)\right) \\ &= c\left(\frac{\partial X}{\partial t}\frac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}+\frac{\partial Y}{\partial t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial Y\partial X}-\frac{\partial X}{\partial t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}-\frac{\partial Y}{\partial t}\frac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2}\right) \\ &= c^2\left(\frac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}-2\frac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}+\frac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2}\right) \end{aligned} \tag{☺} \end{align}$
となる．ただし，最後の式変形に $\psi$ が $C^2$ 級であることを用いた．

右辺についても，
$\begin{align} \begin{aligned} \frac{\partial^2 \psi(X,Y)}{{\partial x}^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial X}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial X}+\frac{\partial Y}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial Y}\right) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \psi}{\partial X}(X,Y)+\frac{\partial \psi}{\partial Y}(X,Y)\right) \\ &= \frac{\partial X}{\partial x}\frac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}+\frac{\partial Y}{\partial x}\frac{\partial^2 \psi}{\partial Y\partial X}-\frac{\partial X}{\partial x}\frac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}-\frac{\partial Y}{\partial x}\frac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2} \\ &= \frac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}+2\frac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}+\frac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2} \end{aligned} \tag{☺} \end{align}$
となる．これらを両辺に代入すれば，
$c^2\left(\dfrac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}-2\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}+\dfrac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2}\right) = c^2\left(\dfrac{\partial^2 \psi}{{\partial X}^2}+2\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y}+\dfrac{\partial^2 \psi}{{\partial Y}^2}\right) \tag{☺}$
であり，整理すれば
$\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial X\partial Y} = 0　\tag{☺}$
を得る．高次元に拡張した際も，最終的にはこの式に到達する．この式は， $\psi$ の $C^2$ 級性より，
$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial X}\dfrac{\partial \psi}{\partial Y} = 0\\ \dfrac{\partial}{\partial Y}\dfrac{\partial \psi}{\partial X} = 0 \end{cases} \tag{☺}$
が共に成り立つことと同値．これを満たすような関数は， $X$ だけの関数 $f(X)$ と $Y$ だけの関数 $g(Y)$ で，
$\begin{cases} \dfrac{\partial \psi}{\partial X} = f(X)\\ \dfrac{\partial \psi}{\partial Y} = g(Y) \end{cases} \tag{☺}$
となる任意の $f(X),g(Y)$ である．それぞれ積分すれば， $f(X)$ と $g(Y)$ の原始関数をそれぞれ
$F(X)$ と $G(Y)$ とおいて，
$\begin{cases} \displaystyle\int\dfrac{\partial \psi}{\partial X}dX = F(X)\\ \displaystyle\int\dfrac{\partial \psi}{\partial Y}dY = G(Y) \end{cases} \tag{☺}$
となるから，辺々足して，
$\int\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial X}dX+\dfrac{\partial \psi}{\partial Y}dY\right) = F(X) + G(Y) \tag{☺}$
を得る．左辺は $d\psi$ の全微分であるから*1，
$\begin{aligned} \int d\psi &= F(X) + G(Y) \\ \psi &= F(X) + G(Y) \end{aligned} \tag{☺}$
となり，変数変換を元に戻せば
$\psi(x,t) = F(x + ct) + G(x - ct) \tag{☺}$
を得る*2．定義より， $F,G$ は $C^2$ 級の任意の関数．これが波動方程式の一般解である．