SQLiteは同時書き込みできるようにならないです(当面)
Publickeyの記事をきっかけに話題になっているようです。
ネタ元はHacker Newsなんですかね。
残念ながら、リンクされているページは開発中のブランチであり、まだSQLite本流にはマージされていません。
また、現状ではマージする予定もありません。
ちなみに、このブランチは楽観的ロックを実装しているので、マージされたとしても使うときにはアプリケーション側でちょっと気を付ける必要がありそうですね。リトライすればいいんですかね?