ばね振子 - 井山梃子歴史館

下の図みたいに単振子のひもをばねに取り換えたとき運動がどうなるか考えたい．

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運動方程式を立てる． $\boldsymbol{r}$ は質点の位置ベクトル， $r=|\boldsymbol{r}|$ ， $l$ はばねの自然長でばねは十分軽くフックの法則に従うとする．

$m\boldsymbol{r} = m\boldsymbol{g}-k(\boldsymbol{r}-l)\frac{\boldsymbol{r}}{r}$

極座標系を導入する．

$m\boldsymbol{r} = m(\ddot{r}-r{\dot{\theta}}^2)\boldsymbol{e_r} + m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{e_\theta}$

$m\boldsymbol{g}-k(\boldsymbol{r}-l)\frac{\boldsymbol{r}}{r} =(mg\cos{\theta}-k(r-l))\boldsymbol{e_r} - mg\sin{\theta}\boldsymbol{e_\theta}$

連立微分方程式ができる．

$m\ddot{r}-mr{\dot{\theta}}^2=mg\cos{\theta}-k(r-l)$

$2m\dot{r}\dot{\theta}+mr\ddot{\theta}=-mg\sin{\theta}$

三角関数があると辛そうなので $|\theta| \ll 1$ として $\sin \theta \simeq \theta$ ， $\cos \theta \simeq 1$ とみなせば，

$m\ddot{r}+kr-mr{\dot{\theta}}^2=mg+kl$

${\displaystyle 2m\dot{r}\dot{\theta} + mr\ddot{\theta} + mg\theta=0}$

$r=\frac{mg}{k} + l$ ， $\theta=0$ が特殊解（鉛直方向に垂らして力がつりあう時を考えた）．あとは同次方程式を解いて足してやればいい（らしい，よく分かってない）．

これ非線形微分方程式ってやつだ，知っているぞ．解くのを諦めた．

エネルギーを考えれば何とかなりそうだけどよく分からない．残念無念また明日．

はてなブログに数式書くときは改行しちゃダメっぽい？

残念無念また来週の元ネタはテニプリの菊丸らしい．