定常電流の保存則が分かった

この記事では定常電流の保存則が他の法則とどのような関係にあるのかを導出します．その後，導体の性質を用いてなぜ導体では定常電流の保存則が成立するかを説明します．

いくつか物理量を定義しておきましょう．

$\rho$ : 電荷密度
$\boldsymbol{E}$ : 電場
$\boldsymbol{i}$ : 電流密度
$\sigma$ : 電気伝導度

これらは各点で十分なめらかだと仮定します（偏微分の入れ替えのため）．

また，命題 $p,q,r$ に対して，
$\begin{equation} p\overset{r}{\iff}q \tag{1} \end{equation}$
と書いたときは， $r$ が成立する条件において $p$ と $q$ が同値，つまり $p\land r\iff q\land r$ であることを指します．以下でバンバン使うので実例を見れば言いたいことが分かると思います．

定常電流の保存則

詳しい導出は前の記事を参照してください．pandaman64.hatenablog.jp

アンペール（・マクスウェル）の法則から
$\begin{equation} \mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{アンペールの法則}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = 0. \tag{2} \end{equation}$
電荷保存則から
$\begin{equation} \mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{電荷保存則}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0. \tag{3} \end{equation}$
したがって，(2)(3)式から，
$\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{\substack{電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \overset{\substack{電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = 0 \tag{4}$
が言えます．言葉で言いかえれば，定常電流の保存則が成立することと電場が定常であることは同じ現象を指します．

導体を流れる定常電流

電場が定常であるという条件下において，導体内をミクロに考察することで，局所的なオームの法則が成立することが分かります．
$\begin{equation} \text{「オームの法則」}\quad\quad\boldsymbol{i}\overset{電場が定常}{=}\sigma\boldsymbol{E} \tag{5} \end{equation}$

(5)式を両辺を時間で偏微分しましょう．
$\begin{equation} \text{「オームの法則」}\quad\quad\dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t}\overset{電場が定常}{=}\sigma\dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \tag{6} \end{equation}$
ところが，オームの法則は電場が定常であるという条件下で導かれたのでした．つまり，(6)式は
$\begin{equation} \dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t}\overset{電場が定常}{=}0 \tag{7} \end{equation}$
と書けます．したがって，定常電場内の導体には定常電流が流れるということが分かります．

最後に，(4)(7)式を用いれば，
$\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{\substack{電場が定常\\電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \overset{\substack{電場が定常\\電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t} = 0 \tag{8}$
となります．この同値関係が定常電流の保存則です．電場の定常性がこの法則に重要な役割を果たしていることが分かります．