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定常電流の保存則が分かった

この記事では定常電流の保存則が他の法則とどのような関係にあるのかを導出します.その後,導体の性質を用いてなぜ導体では定常電流の保存則が成立するかを説明します.

いくつか物理量を定義しておきましょう.

  • \rho : 電荷密度
  • \boldsymbol{E} : 電場
  • \boldsymbol{i} : 電流密度
  • \sigma : 電気伝導度

これらは各点で十分なめらかだと仮定します(偏微分の入れ替えのため).

また,命題p,q,rに対して,

\begin{equation}
p\overset{r}{\iff}q \tag{1}
\end{equation}
と書いたときは,rが成立する条件においてpqが同値,つまりp\land r\iff q\land rであることを指します.以下でバンバン使うので実例を見れば言いたいことが分かると思います.

定常電流の保存則

詳しい導出は前の記事を参照してください.pandaman64.hatenablog.jp

アンペール(・マクスウェル)の法則から

\begin{equation}
\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{アンペールの法則}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = 0. \tag{2}
\end{equation}
電荷保存則から

\begin{equation}
\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{電荷保存則}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0. \tag{3}
\end{equation}
したがって,(2)(3)式から,

\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{\substack{電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \overset{\substack{電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = 0 \tag{4}
が言えます.言葉で言いかえれば,定常電流の保存則が成立することと電場が定常であることは同じ現象を指します.

導体を流れる定常電流

電場が定常であるという条件下において,導体内をミクロに考察することで,局所的なオームの法則が成立することが分かります.

\begin{equation}
\text{「オームの法則」}\quad\quad\boldsymbol{i}\overset{電場が定常}{=}\sigma\boldsymbol{E} \tag{5}
\end{equation}

(5)式を両辺を時間で偏微分しましょう.

\begin{equation}
\text{「オームの法則」}\quad\quad\dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t}\overset{電場が定常}{=}\sigma\dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \tag{6}
\end{equation}
ところが,オームの法則は電場が定常であるという条件下で導かれたのでした.つまり,(6)式は

\begin{equation}
\dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t}\overset{電場が定常}{=}0 \tag{7}
\end{equation}
と書けます.したがって,定常電場内の導体には定常電流が流れるということが分かります.

最後に,(4)(7)式を用いれば,

\mathrm{div}\,\boldsymbol{i} = 0 \overset{\substack{電場が定常\\電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \overset{\substack{電場が定常\\電荷保存則\\アンペールの法則}}{\iff} \dfrac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial t} = 0 \tag{8}
となります.この同値関係が定常電流の保存則です.電場の定常性がこの法則に重要な役割を果たしていることが分かります.

課題

なんでふつうの回路が定常電場かどうか分かってないですね.定常電流分かってませんでした.でもここまでくれば後は電源を考慮に入れてのほんの一歩だと思いますし,説明の納得しやすさも大分良くなってきました(大学のテキストが言いたかったのもこういうことだと思う).

オームの法則は導体の性質として前提に持ってきちゃいました.これはどの分野を学べば理解できるのでしょう.統計を使った物理学や量子力学になるのかなあ.

磁場についても色々言えると思いますが,磁場の性質はよく理解してないのでこれから解析したいですね.