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対数微分と漸化式

やりたいこと

{\displaystyle \underbrace{\left(x^{x^{\cdot{^{\cdot{^{\cdot{^x}}}}}}} \right)}_n'}

を求めたい.n \to \inftyの極限も気になる.

やったこと

漸化式を作った.y_n=\underbrace{x^{x^{\cdot{^{\cdot{^{\cdot{^x}}}}}}}}_nとして対数微分する.

\begin{align}
  \ln y_n &= y_{n-1} \ln x \\
  \frac{{y_n}'}{y_n} &= {y_{n-1}}'\ln x + \frac{y_{n-1}}{x}
\end{align}

あきらめた.計算しても

\begin{align}
  {y_2}'=x^x(1+\ln x) &&
  {y_3}'=x^{x^x} x^x\left((1+\ln x)\ln x + \frac{1}{x}\right)
\end{align}

となってよく分からない.

あと一番初めの数式の表示が変(括弧の下が空いてる)だけどどうすればいいのか分からない.